Площадь проекции фигуры на плоскость. Разработка "Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника" (10 класс). II. Восприятие и осознание нового материала

Подробное доказательство теоремы об ортогональной проекции многоугольника

Если - проекция плоского n -угольника на плоскость, то, где - угол между плоскостями многоугольников и. Иными словами, площадь проекции плоского многоугольника равна произведению площади проецируемого многоугольника на косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью проецируемого многоугольника.

Доказательство. I этап. Проведём доказательство сначала для треугольника. Рассмотрим 5 случаев.

1 случай. лежат в плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае. Положим, что. Пусть - высота, тогда по теореме о трёх перпендикулярах мы можем заключить, что - высота (- проекция наклонной, - её основание и прямая проходит через основание наклонной, причём).

Рассмотрим. Он прямоугольный. По определению косинуса:

С другой стороны, так как и, тогда по определению - линейный угол двугранного угла, образованного полуплоскостями плоскостей и с граничной прямой, а, следовательно, его мера является также и мерой угла между плоскостями проекции треугольника и самого треугольника, то есть.

Найдём отношение площади к:

Заметим, что формула остаётся верной даже когда. В этом случае

2 случай. Тольколежит в плоскости проекции и параллельна плоскости проекции .

Пусть - проекции точек на плоскость соответственно. В нашем случае.

Проведём через точку прямую. В нашем случае прямая пересекает плоскость проекции, значит, по лемме, и прямая пересекает плоскость проекции. Пусть это будет в точке Так как, то точки лежат в одной плоскости, а так как параллельна плоскости проекции, то по следствию из признака параллельности прямой и плоскости следует, что. Следовательно, - параллелограмм. Рассмотрим и. Они равны по трём сторонам (- общая, как противолежащие стороны параллелограмма). Заметим, что четырёхугольник - прямоугольник и равен (по катету и гипотенузе), следовательно, равен по трём сторонам. Поэтому и.

Для применим 1 случай: , т. е..

3 случай. Тольколежит в плоскости проекции и не параллельна плоскости проекции .

Пусть точка - точка пересечения прямой с плоскостью проекции. Заметим, что и. По 1 случаю: и. Таким образом получаем, что

4 случай. Вершины не лежат в плоскости проекции . Рассмотрим перпендикуляры. Возьмём среди этих перпендикуляров наименьший. Пусть это будет перпендикуляр. Может оказаться, что, либо только, либо только. Тогда всё равно берём.

Отложим от точки на отрезке точку, так, чтобы и от точки на отрезке точку, так, чтобы. Такое построение возможно, так как - наименьший из перпендикуляров. Заметим, что является проекцией и, по построению. Докажем, что и равны.

Рассмотрим четырёхугольник. По условию - перпендикуляры к одной плоскости, следовательно, по теореме, поэтому. Так как по построению, тогда по признаку параллелограмма (по параллельным и равным противолежащим сторонам) мы можем заключить, что - параллелограмм. Значит, . Аналогично доказывается, что, . Следовательно, и равны по трём сторонам. Поэтому. Заметим, что и, как противолежащие стороны параллелограммов, следовательно, по признаку параллельности плоскостей, . Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применимы предыдущие случаи:.

5 случай. Плоскость проекции пересекает стороны . Рассмотрим прямые. Они перпендикулярны к плоскости проекции, поэтому по теореме они параллельны. На сонаправленных лучах с началами в точках соответственно отложим равные отрезки, таким образом, чтобы вершины лежали вне плоскости проекции. Заметим, что является проекцией и, по построению. Покажем, что равен.

Так как и, по построению, тогда. Следовательно, по признаку параллелограмма (по двум равным и параллельным сторонам), - параллелограмм. Аналогично доказывается, что и - параллелограммы. Но тогда, и (как противолежащие стороны), поэтому равен по трём сторонам. Значит, .

Кроме того, и, поэтому, по признаку параллельности плоскостей. Так как эти плоскости параллельны, то они образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Для применим 4 случай:.

II этап. Разобьем плоский многоугольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из вершины: Тогда по предыдущим случаям для треугольников: .

Что и требовалось доказать.

Рассмотрю вопрос о формуле проекций граней прямоугольного тетраэдра. Предварительно рассмотрю ортогональное проектирование отрезка, лежащего в плоскости α , выделив два случая расположения этого отрезка относительно прямой l=α∩π .
Случай 1. AB∥l (рис. 8). Отрезок A 1 B 1 , являющийся ортогональной проекцией отрезка AB, равен и параллелен отрезку АВ.

Рис. 8

Случай 2. CD⊥l (рис. 8). По теореме о трех перпендикулярах прямая C 1 D 1 , являющаяся ортогональной проекцией прямой CD, также перпендикулярна прямой l. Следовательно, ∠CEC 1 — угол между плоскостью α и плоскостью проекций π , т. е. , где C 0 D=C 1 D 1 . Поэтому |C 1 D 1 |=|CD|∙cosφ
Теперь рассмотрю вопрос об ортогональном проектировании треугольника.
Площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций.

Доказательство. Площадь проекции треугольника.
а) Пусть одна из сторон, например АС, проектируемого треугольника ABC параллельна прямой l=α∩π (рис. 9) или лежит на ней.

Рис. 9

Тогда его высота ВН перпендикулярна прямой l , а площадь равна , т. е.

На основании выше рассмотренных свойств ортогональной проекции отрезка имею:

По теореме о трех перпендикулярах прямая B 1 H 1 — ортогональная проекция прямой ВН — перпендикулярна прямой l, следовательно, отрезок В 1 Н 1 — высота треугольника A 1 B 1 C 1 . Поэтому . Таким образом, .
б) Ни одна из сторон проектируемого треугольника ABC не параллельна прямой l (рис. 10). Проведу через каждую вершину треугольника прямую, параллельную прямой l. Одна из этих прямых лежит между двумя другими (на рисунке — это прямая m), и, следовательно, разбивает треугольник ABC на треугольники ABD и ACD с высотами соответственно ВН и СЕ, проведенными к их общей стороне AD (или ее продолжению), которая параллельна l. Прямая m 1 — ортогональная проекция прямой m — также разбивает треугольник А 1 В 1 С 1 — ортогональную проекцию треугольника ABC — на треугольники A 1 B 1 D 1 и A 1 C 1 D 1 , где . Принимая во внимание (9) и (10), получаю

В последнее время в задании С2 встречаются задачи, в которых необходимо построить сечение многогранника плоскостью и найти его площадь. Такая задача предложена в демоверсии. Часто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции. В презентации приведена формула для такого решения и подробный разбор задачи, который сопровождается серией чертежей.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Нахождение площади сечения через площадь его ортогональной проекции. Задание С2 Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г. Красноярска Князькина Т. В.

Рассмотрим решение такой задачи: В прямоугольном параллелепипеде, . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол. Найдите площадь сечения. Ч асто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции. Нахождение площади треугольника через площадь его ортогональной проекции легко иллюстрируется таким рисунком:

CH- высота треугольника ABC , C ‘H – высота треугольника ABC " , который является ортогональной проекцией треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника CHC " : Площадь треугольника ABC " равна Площадь треугольника ABC равна Cледовательно, площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC ‘, деленной на косинус угла между плоскостями треугольника ABC и треугольника ABC " , который является ортогональной проекцией треугольника ABC .

Поскольку площадь любого многоугольника можно представить в виде суммы площадей треугольников, площадь многоугольника равна площади его ортогональной проекции на плоскость деленной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции. Используем этот факт для решения нашей задачи (см. слайд 2) План решения такой: А) Строим сечение. Б) Находим его ортогональную проекцию на плоскость основания. В) Находим площадь ортогональной проекции. Г) Находим площадь сечения.

1. Сначала нам нужно построить это сечение. Очевидно, что отрезок BD принадлежит плоскости сечения и плоскости основания, то есть принадлежит линии пересечения плоскостей:

Угол между двумя плоскостями – это угол между двумя перпендикулярами, которые проведены к линии пересечения плоскостей и лежат в этих плоскостях. Пусть точка O – точка пересечения диагоналей основания. OC – перпендикуляр к линии пересечения плоскостей, который лежит в плоскости основания:

2. Определим положение перпендикуляра, который лежит в плоскости сечения. (Помним, что если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Ищем наклонную по ее проекции (OC) и углу между проекцией и наклонной). Найдем тангенс угла COC ₁ между OC ₁ и OC

Следовательно, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания больше, чем между OC ₁ и OC. То есть сечение расположено как-то так: K – точка пересечения OP и A ₁C₁, LM||B₁D₁ .

Итак, вот наше сечение: 3. Найдем проекцию сечения BLMD на плоскость основания. Для этого найдем проекции точек L и M .

Четырехугольник BL ₁M₁D – проекция сечения на плоскость основания. 4. Найдем площадь четырехугольника BL ₁M₁D . Для этого из площади треугольника BCD вычтем площадь треугольника L ₁CM₁ Найдем площадь треугольника L ₁CM₁ . Треугольник L ₁CM₁ подобен треугольнику BCD . Найдем коэффициент подобия.

Для этого рассмотрим т реугольники OPC и OKK₁ : Следовательно, и площадь треугольника L₁CM₁ составляет 4/25 площади треугольника BCD (отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия). Тогда площадь четырехугольника BL₁M₁D равна 1-4/25=21/25 площади треугольника BCD и равна

5. Теперь найдем 6 . И, наконец, получаем: Ответ: 112

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Проверочная работа по дисциплине "Инженерная компьютерная графика" состоит из четырех тестовых заданий на установление соответствия. На выполнение заданий отводится 15-20 минут....

Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Применение производной и первообразной (прототипы В8 из открытого банка заданий ЕГЭ)

Презентация с кратким курсом теории и решениями различных прототипов В8 из открытого банка заданий ЕГЭ. Возможно применение для интерактивной доски или ПК учеников для самостоятельной подготовки....

Подготовка к ЕГЭ-2014 по математике. Решение задания С1.

В материале приведены решения задания С1 (тригонометрического уравнения)и 4 способа отбора корней, принадлежащих промежутку: с помощью тригонометрической окружности, с помощью графика функции, перебор...

Глава IV. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники

§ 55. Площадь проекции многоугольника.

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть /\ АВС проектируется на плоскость р . Рассмотрим два случая:
а) одна из сторон /\ АВС параллельна плоскости р ;
б) ни одна из сторон /\ АВС не параллельна р .

Рассмотрим первый случай : пусть [АВ] || р .

Проведем через (АВ) плоскость р 1 || р и спроектируем ортогонально /\ АВС на р 1 и на р (рис. 165); получим /\ АВС 1 и /\ А"В"С" .
По свойству проекции имеем /\ АВС 1 /\ А"В"С" , и поэтому

S /\ ABC1 = S /\ A"B"C"

Проведем _|_ и отрезок D 1 C 1 . Тогда _|_ , a = φ есть величина угла между плоскостью /\ АВС и плоскостью р 1 . Поэтому

S /\ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1 / 2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S /\ ABC cos φ

и, следовательно, S /\ A"B"C" = S /\ ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая . Проведем плоскость р 1 || р через ту вершину /\ АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).
Спроектируем /\ АВС на плоскости р 1 и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно /\ АВ 1 С 1 и /\ А"В"С".

Пусть (ВС) p 1 = D. Тогда

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1 - S /\ ADB1 = (S /\ ADC - S /\ ADB) cos φ = S /\ ABC cos φ

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, /\ АВС есть проекция /\ АDС, поэтому

ГЕОМЕТРИЯ
Планы-конспекты уроков для 10 классов

Урок 56

Тема. Площадь ортогональной проекции многоугольника

Цель урока: изучение теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника, формирование умений учащихся применять изученную теорему к решению задач.

Оборудование: стереометрический набор, модель куба.

Ход урока

И. Проверка домашнего задания

1. Два ученика воспроизводят решения задач № 42, 45 на доске.

2. Фронтальное опрашивание.

1) Дайте определение угла между двумя плоскостями, которые пересекаются.

2) Чему равен угол между:

а) параллельными плоскостями;

б) перпендикулярными плоскостями?

3) В каких пределах может изменяться угол между двумя плоскостями?

4) верно Ли, что плоскость, которая пересекает параллельные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами?

5) верно Ли, что плоскость, которая пересекает перпендикулярные плоскости, пересекает их под одинаковыми углами?

3. Проверка правильности решения задач № 42, 45, которое воссоздали ученики на доске.

II. Восприятие и осознание нового материала

Задание ученикам

1. Докажите, что площадь проекции треугольника, у которого одна сторона находится в плоскости проекции, равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

2. Докажите теорему для случая, когда решеточным есть треугольник, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций.

3. Докажите теорему для случая, когда решеточным есть треугольник, у которого ни одна из сторон не параллельна плоскости проекций.

4. Докажите теорему для любого многоугольника.

Решение задач

1. Найти площадь ортогональной проекции многоугольника, площадь которого равна 50 см2, а угол между плоскостью многоугольника и его проекции - 60°.

2. Найти площадь многоугольника, если площадь ортогональной проекции этого многоугольника равна 50 см2, а угол между плоскостью многоугольника и его проекцией равен 45°.

3. Площадь многоугольника равна 64 см2, а площадь ортогональной проекции - 32 см2. Найдите угол между плоскостями многоугольника и его проекции.

4. Или может площадь ортогональной проекции многоугольника равна площади этого многоугольника?

5. Ребро куба равно а. Найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через вершину основания под углом 30° к этой основы и пересекает все боковые ребра. (Ответ. )

6. Задача № 48 (1, 3) из учебника (с. 58).

7. Задача № 49 (2) из учебника (с. 58).

8. Стороны прямоугольника равны 20 и 25 см. Его проекция на плоскость подобна ему. Найти периметр проекции. (Ответ. 72 см или 90 см.)

III. Домашнее задание

§4, п. 34; контрольный вопрос № 17; задачи№ 48 (2), 49 (1) (с. 58).

IV. Подведение итога урока

Вопрос к классу

1) Сформулируйте теорему о площади ортогональной проекции многоугольника.

2) может Ли площадь ортогональной проекции многоугольника быть большей площади многоугольника?

3) Через гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС проведена плоскость α под углом 45° к плоскости треугольника и перпендикуляр CO до плоскости α. АС = 3 см, ВС = 4 см. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные:

а) угол между плоскостями АВС и α равен углу СМО, где точка Н - основание высоты СМ треугольника АВС;

б) СО = 2,4 см;

в) треугольник АОС является ортогональной проекцией треугольника АВС на плоскость α;

г) площадь треугольника АОВ равна 3 см2.

(Ответ. а) Правильное; б) неправильно; в) неправильное; г) правильное.)